Est-ce que la plupart des mathématiciens connaissent la plupart des sujets en mathématiques?

Sid Caroline 08/21/2017. 8 answers, 12.112 views
soft-question

Combien de sujets en dehors de sa spécialisation sont familiers à un mathématicien moyen?

Par exemple, un théoricien de groupe moyen sait-il assez d'équations différentielles partielles pour réussir un test dans un cours PDE de niveau universitaire?

En outre, quels sont les sujets "must-know" pour tout mathématicien aspirant? Pourquoi?

En tant qu'étudiant diplômé, devrais-je me concentrer davantage sur l'étendue (choix d'un large éventail de classes relativement indépendantes, p. Ex. Théorie des groupes et EDP) ou la profondeur (p. Ex., Mesure de la théorie et analyse fonctionnelle)?

5 Comments
5 Mattos 07/27/2017
Juste pour que vous le sachiez, la théorie des groupes is utilisée dans l'étude des équations aux dérivées partielles, principalement pour exploiter les symétries d'une EDP.
53 Cauchy 07/27/2017
Non, un théoricien de groupe moyen obtiendra un gros $ 0 $ dans un cours PDE de deuxième cycle (il might avoir étudié PDE à un moment donné, mais il / elle a définitivement oublié tout).
23 Cauchy 07/27/2017
En général, cependant, la plupart des mathématiciens ont une certaine exposition à une grande variété de sujets, de sorte que s'ils avaient besoin d'un outil donné d'une autre branche, ils peuvent (relativement) rapidement relire le matériel et lire la littérature pertinente.
1 owjburnham 07/27/2017
Je soupçonne que cela peut être spécifique au pays, et que cela vaut la peine d'être étiqueté? Je (au Royaume-Uni) n'ai jamais eu à passer un seul test en tant qu'étudiant diplômé (Dieu merci).
6 Robin Saunders 07/29/2017
@Myles, j'ai plus souvent entendu parler de Poincaré.

8 Answers


P. Siehr 07/27/2017.

Votre question est philosophique plutôt que mathématique.

Un de mes collègues m'a dit une fois la métaphore / l'illustration suivante quand j'étais étudiant au baccalauréat et qu'il a fait son doctorat. Et puisque maintenant quelques années ont passé je peux rapporter.

C'est dur de l'écrire. Pensez à dessiner un grand cercle en l'air, en faisant un zoom avant, puis en dessinant à nouveau un grand cercle.

C'est toute la connaissance:

[--------------------------------------------] 

Toutes les connaissances en contiennent beaucoup, et les mathématiques n'en sont qu'une infime partie, marquée de la croix:

[---------------------------------------x----]
                                        |
Zooming in:
[xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx] 

La recherche mathématique est divisée en plusieurs sujets. Algèbre, théorie des nombres, et beaucoup d'autres, mais aussi mathématiques numériques. C'est cette petite partie ici:

[xxxxxxxxxxxxxxxxxxxoxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx]
                    |                    
Zooming in:
[oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo] 

Les mathématiques numériques sont également divisées en plusieurs thèmes, comme les numériques ODE, l'optimisation, etc. Et l'un d'entre eux est FEM-Theory for PDE.

[oooooooooooooooooooρoooooooooooooooooooooooo]
                    | 

Et c'est la partie de la connaissance, où je me sens à l'aise de dire «je connais un peu plus que la plupart des autres personnes dans le monde».
Maintenant, après quelques années, je voudrais étendre cette illustration un pas de plus: Ma connaissance dans cette partie ressemble plutôt

[   ρ    ρρ  ρ         ρ   ρ          ρ     ρ] 

Je n'en sais toujours qu'un peu, la plupart je ne sais pas, et la plupart de ce que j'avais appris est déjà oublié.

(En fait, FEM-Theory est toujours un sujet énorme, qui contient par exemple différents types d'EDP [elliptiques, paraboliques, hyperboliques, autres] .Vous pouvez donc faire le "zoom" plusieurs fois.)


Une autre petite sagesse est: Quelqu'un qui a terminé l'école pense qu'il sait tout. Une fois qu'il a obtenu sa maîtrise, il sait qu'il ne sait rien. Et après le doctorat, il sait que tout le monde autour de lui ne sait rien.


Demandez-vous votre point de vue: l'OMI utilise les premières années pour explorer des sujets en mathématiques pour savoir ce que vous aimez. Alors allez plus loin - si vous avez trouvé ce que vous aimez.

Y a-t-il des sujets "must know"? Il y a des bases que vous apprenez dans les premiers termes. Sans eux, il est difficile de "parler" et de "faire" des maths. Vous apprendrez les outils dont vous avez besoin pour approfondir. Après cela, n'hésitez pas à profiter des mathématiques :)
Si votre objectif de recherche est par exemple sur les numériques PDE (comme le mien est), mais vous aimez aussi les mathématiques pures - allez-y et prenez une conférence. Cela vous aidera-t-il? Peut-être peut-être pas. Mais à coup sûr, vous vous êtes amusé à acquérir des connaissances, et c'est ce qui compte.

Ne réfléchissez pas trop sur les conférences à suivre. Tout va bien se passer. Je pense que la plupart des mathématiciens seront d'accord avec cette affirmation.

4 comments
46 Eff 07/27/2017
Ceci est similaire à The Illustrated Guide to a Ph.D. .
10 Mars 07/30/2017
Pour mémoire, je suis un philosophe professionnel (Ph.D. en philosophie, travail en tant que professeur, tout ça). Soo ... dans mon opinion professionnelle, cette question n'est pas philosophique. C'est empirique. OP demande des généralisations empiriques sur les mathématiciens. La suggestion de P. Siehr est que la question est énoncée de manière imprécise ou repose sur des hypothèses incorrectes. Cela ne rend pas la question ou ses réponses possibles philosophiques. (Je ne suis pas d'accord avec P. Siehr sur le fait que la question posée ne peut pas être résolue, et mes remarques ne sont pas censées étayer les commentaires d'amWhy.)
3 Joonas Ilmavirta 08/01/2017
@Mars Il convient de noter que «philosophique» dans un contexte mathématique ne fait généralement pas référence au domaine de la philosophie, mais à presque toutes les pensées mathématiquement pertinentes ou inspirées en dehors des mathématiques rigoureuses et formelles. (J'espère que les mathématiciens utilisant le mot le reconnaissent!) Je suis d'accord que la question n'est pas philosophique dans le sens actuel du mot, mais je pense qu'elle est philosophique dans le sens employé par beaucoup de mathématiciens.
Mars 08/09/2017
Ah, c'est intéressant @JoonasIlmavirta. Merci.

Georges Elencwajg 07/27/2017.

La réponse à votre question est facile:
Non, un mathématicien moyen spécialisé dans, disons, la géométrie algébrique ne pourrait pas passer without preparation un examen de niveau supérieur sur les équations aux dérivées partielles.
Attendez, c'est pire que ça: il ne pouvait même pas passer un examen de premier cycle sur les équations aux dérivées partielles.
Attendez, c'est encore pire: il ne pouvait pas passer un examen in algebraic geometry sur un sujet spécialisé différent du sien. Par exemple un examen élémentaire sur la classification des singularités s'il est spécialisé dans les régimes Hilbert.
Inversement, je serais très surpris si un analyste notoire qui a récemment obtenu une médaille Fields pourrait résoudre les exercices dans, disons, le chapitre 5 de Fulton's Algebraic Curves , l'introduction standard à la géométrie algébrique de premier cycle.

Some remarks
1) Ce que j'ai écrit est facile à confirmer en privé mais impossible à prouver en public:
Je ne peux pas très bien écrire que lors d'une conversation récente, XXX, un probabiliste respecté, a abondamment prouvé qu'il n'avait aucune idée de ce qu'est le groupe fondamental du cercle.

2) Si l'auteur YYY a écrit un article sur les équations différentielles partielles en utilisant des techniques du groupe adaptable, cela n'implique pas que d'autres spécialistes dans son domaine connaissent une quelconque théorie de groupe.
Il ne prouve même pas que YYY en savait beaucoup sur la théorie des groupes: il avait peut-être réalisé que la théorie des groupes était impliquée dans ses recherches et interviewé un théoricien de groupe qui lui aurait parlé de groupes compréhensibles.

3) Du bon côté, certains mathématiciens très exceptionnels semblent en savoir beaucoup sur presque tous les sujets en mathématiques: Atiyah, Deligne, Serre, Tao me viennent à l'esprit.
Ma triste conjecture est que leur nombre est une fonction qui tend vers zéro à mesure que le temps passe.
Et bien que je ne puisse pas faire un examen d'analyse, je suis conscient de ce que cela signifie pour une fonction $ \ mathbb N $ -value ...

5 comments
11 Alfred Yerger 07/27/2017
Il y a des gens dans mon ministère qui, à tout le moins, peuvent commenter une grande variété de sous-domaines dans une vaste discipline. Plusieurs géomètres viennent à l'esprit et ont quelque chose d'intelligent à dire sur de nombreux domaines de la géométrie. Peut-être que ce n'est pas possible de tout savoir. Mais j'espère qu'il est encore possible de connaître beaucoup de choses sur beaucoup de choses. Je pense que c'est probablement assez bon, car maintenant il y a tellement plus de choses à savoir!
1 Santropedro 07/28/2017
Georges, quand vous dites "Inversement, je serais très surpris si un analyste notoire qui a récemment obtenu une médaille Fields pourrait résoudre les exercices dans, disons, le chapitre 5 de Fulton's Algebraic Curves, l'introduction standard à la géométrie algébrique de premier cycle." combien de temps sont-ils autorisés à penser à chaque exercice? Si nous leur donnons assez de temps pour lire le livre et pratiquer, ils me le feraient certainement assez. Ne sont-ils pas autorisés à lire le livre, et doivent-ils les résoudre sur place, dans combien de temps?
8 Georges Elencwajg 07/28/2017
Cher @Santropedro, bien sûr, si ce brillant analyste avait eu une semaine ou deux, il pouvait lire le livre et ensuite résoudre ses exercices. Ce que je voulais dire, c'est qu'il ne pourrait probablement pas les résoudre avec ce qu'il sait maintenant.
2 Michael Kay 07/28/2017
Il y a quelques années, j'ai pensé qu'il serait amusant d'essayer d'aborder un document de mathématiques du GCSE (pour les 16 ans) que ma fille a rapporté à la maison. A cet âge, je l'aurais traversé sans difficulté. J'ai trouvé que je ne pouvais pas répondre à une seule question, même si mon travail en génie logiciel implique une exposition régulière à beaucoup de maths.
2 Georges Elencwajg 07/30/2017
@Mars: oui, c'est exactement le point. L'OP a posé des questions sur des sujets qu'un mathématicien connaissait bien. La question de savoir s'il could familiariser avec un tel sujet et combien de temps cela prendrait est complètement différente et tout à fait corrélée avec la notion d'être «brillant».

MCS 07/29/2017.

Mes deux cents: à moins que vous ayez un cerveau magique, ou que vous soyez un génie de l'époque, vous allez probablement découvrir que vous ne pouvez tenir dans votre esprit que trop de mathématiques à un moment donné. Donc, pour des raisons pratiques - à la fois pour rédiger une dissertation et pour faire carrière - vous devriez probablement vous en tenir à un ou deux domaines étroitement liés, de sorte que vous ayez suffisamment d'expertise pour vous rendre utile à un institution de recherche ou à tout ce que vous souhaitez faire avec votre avenir.

Cela étant dit, j'ai trouvé que la graisse du coude et les compétences en mathématiques sont souvent terriblement uncorrelated unes avec les autres. Au contraire, la compétence dépend souvent plus de combien de mathématiques on a seen . À cette fin, je dirais, bien que vous deviez choisir un domaine ou deux, vous devriez vous efforcer de garder un esprit ouvert et de maintenir un intérêt actif pour une variété de disciplines mathématiques aussi variées que possible.

Je trouve souvent que lire (même si ce n'est que de façon désinvolte) sur des formes de mathématiques sans rapport avec mes domaines de recherche fournit une mine de nouvelles idées et idées. Plus vous connaissez de modèles et de phénomènes, plus vous aurez de chance de remarquer une intrusion dans votre travail, et cela vous donnera peut-être une intuition que vous n'auriez pas eue autrement. À tout le moins, il vous aidera à savoir quels sujets ou sources (ou collaborateurs ...) rechercher lorsque vous tombez sur quelque chose en dehors de votre domaine de plus grande expertise.

Edit: Encore une chose. Linear algebra. Pour paraphraser Benedict Gross, il n'y a rien de tel que de connaître trop l'algèbre linéaire. C'est bizarre everywhere .


paul garrett 07/27/2017.

Il y a, bien sûr, une grande ambiguïté dans la question. Mais, avec n'importe quelle interprétation, la réponse serait généralement: «Non, la plupart des pratiquants d'une partie de X ne se souviennent pas de tout X ... parce qu'ils n'en ont pas need ».

Ainsi, ne serait-ce que parce que la plupart des souvenirs de personnes très intelligentes s'estompent avec le temps, il n'y aura qu'un léger résidu des choses de base dans l'esprit des mathématiciens qui travaillent sur une chose particulière depuis quelques années. En dehors de l'enseignement du calcul, il y a peu de need de se souvenir de beaucoup d'autres choses. Oui, du point de vue de l'érudition, c'est potentiellement angoissant, mais, en fait, dans presque toutes les situations de mathématiques professionnelles, il y a peu de motivation / récompense pour une véritable érudition. Cela ne correspond d'aucune façon aux formules d'augmentation de salaire, à la permanence ou à bien d'autres choses. (Ce n'est pas que je me soucie moi-même si j'essaie de comprendre les choses "à la solde", ou pas ...)

Il est vrai que la plupart des programmes d'études supérieures en mathématiques aux États-Unis tentent d'acquérir une compétence minimale / appréciation pour une grande partie des mathématiques de base, mais il semble que la grande majorité des gens ne trouvent pas beaucoup d'intérêt à poursuivre de vastes bourse, en principe ou pour d'éventuels avantages directs.

Aussi, je conteste l'image simpliste (ce que je pense être) que la «spécialisation» est comme «zoomer avec un microscope», et ainsi de suite. Bien sûr, c'est une vision du monde défendable, et une vision du monde sujet-sage, et, bien sûr, par ses actions on peut faire une description accurate ... mais je pense que ce n'est pas exact de la réalité. Plus précisément, je ne considère pas que les idées authentiques soient presque aussi «localisées» qu'un «zoom-microscope physique» serait pertinent. C'est-à-dire que l'idée que les «mathématiques» puissent raisonnablement être représentées comme une chose physique, entraînant toute la proximité que cela implique, est, à mon avis, extrêmement imprécise. Encore une fois, oui, nous pouvons le make précis, si rien d'autre par ignorance ou ignorant-fiat. Mais...


Dennis Jaheruddin 07/29/2017.

La question du nombre de matières mathématiques qu'un mathématicien moyen connaît dépend fortement de deux définitions:

  1. Sujet
  2. Connaître

Bien sûr, cela dépend aussi d'autres définitions (comme le mathématicien) mais dans une moindre mesure.

Approche quantitative pour répondre à cette question

Laissez-nous définir les niveaux de sujets dans le suivant, vaguement basé sur wikipedia :

  1. Mathématiques (1 sujet de ce niveau)
  2. Mathématiques pures / Mathématiques appliquées (2 sujets à ce niveau)
  3. Algèbre, ..., Recherche opérationnelle (13 sujets à ce niveau)
  4. Algèbre abstraite, algèbre de Boole, ... (??? topics à ce niveau)

Maintenant, basé sur mon expérience personnelle et sur une image du mathématicien moyen, je peux répondre à ce qu'un tel mathématicien connaîtrait à ce sujet, pour chaque niveau:

  1. Peut réussir un cours de deuxième cycle sur ce sujet
  2. Peut passer un cours de deuxième cycle sur ces sujets
  3. Peut passer un cours de troisième cycle sur certains de ces sujets, peut passer un cours d'introduction sur la plupart de ces sujets
  4. Peut passer un cours de troisième cycle sur quelques-uns de ces sujets (peut-être 5 ~ 15%)

Notez que si vous allez au-delà du niveau 4, vous devenez si spécifique que vous ne trouverez peut-être pas de cours complets sur ce sujet. D'où ma conclusion:

Basé sur l'expérience personnelle, je m'attends à ce qu'un mathématicien moyen ait une connaissance décente de 5% à 15% des sujets du niveau des études supérieures


Linas 07/29/2017.

J'ai passé plusieurs années sur un projet à lire les 1-2 premiers chapitres d'au moins un livre de mathématiques sur chaque étagère de la bibliothèque universitaire. C'était une tentative d'obtenir une enquête impartiale sur les mathématiques. C'était bon pour moi, mais c'était un luxe: la marche forcée à travers un programme de doctorat et dans le milieu universitaire offre peu de temps pour un tel comportement. Pourtant, c'est important: tous les meilleurs mathématiciens utilisent des outils interdisciplinaires dans leur travail. Et, pour moi, personnellement, c'était une sorte de niveau: tout à coup, tout est plus facile.

Spécialiser dans un domaine est un peu comme soulever des poids avec juste votre bras droit, en ignorant le noyau, le dos et les jambes: il vous laisse étonnamment faible et incapable. Lorsque vous devez maîtriser de nombreux styles d'abstraction différents, vous vous sentez mieux à l'abstraction, en général, même dans la spécialité que vous avez choisie. Pour moi, c'était la grande surprise inattendue.

Pour la question plus quantitative posée ici: pourrais-je "passer un test de niveau XYZ de deuxième cycle?" pour un cours de 1ère année, 1er semestre, peut-être, probablement. Sorte de. Les examens ont tendance à poser des questions en utilisant un phrasé et une notation qui sont étroitement alignés sur le manuel de classe, et cette notation peut varier fortement d'un manuel à l'autre. Donc, pour cela, la préparation serait nécessaire. Le point est que cette préparation devient plus facile.

1 comments
Lehs 07/29/2017
Il devrait y avoir beaucoup de livres de mathématiques dans une bibliothèque universitaire. Je ne serais jamais capable d'apprendre tous les titres et certainement pas toutes les définitions dans tous ces livres. Et c'est tout simplement impossible de se rappeler autant de contexte. Mais un mathématicien professionnel est probablement capable de comprendre le contexte de l'un des livres s'il ou elle doit le faire.

R K Sinha 08/07/2017.

Il y a une grande pénurie de manuels de niveau supérieur en mathématiques écrits dans le but d'enseigner le «vrai sujet» le plus rapidement possible. "Manifolds lisse par Sinha" est un tel livre. Si beaucoup de livres de ce type deviennent disponibles, alors l'érudition en mathématiques ne serait pas une chose de rire.


John Bentin 07/27/2017.

Certainement pas. Par exemple, le grand mathématicien Grothendieck n'était pas suffisamment familiarisé avec l'arithmétique pour reconnaître l'entier $ 57 $ comme un non-premier. Les nombreux comptes de cette histoire peuvent être consultés par une recherche sur Internet pour les termes clés; disons, chercher grothendieck prime 57 .

5 comments
24 José Carlos Santos 07/27/2017
C'est un exemple ridicule! Grothendieck pensait aux nombres premiers en général. Il se fout simplement de savoir si $ 57 $ est un prime.
19 Georges Elencwajg 07/27/2017
L'histoire n'est pas inventée: Grothendieck a fait cette bêtise, dans un échange après une conversation, après avoir été invité à être plus concret par un membre du public. Bien sûr, cela ne change rien au fait que Grothendieck était l'un des plus grands arithméticiens du 20ème siècle. Et en effet 57 looks un peu premier pour une raison psychologique :-). À l'inverse beaucoup de mathématiciens pensent que je leur tire la jambe quand je leur dis que $ 4999 $ is premier!
1 Dair 07/27/2017
Je crois que Terrance Tao a aussi dit que 27 était premier sur le rapport Colbert, ou quelque chose comme ça: p (pas qu'il ne connaisse pas bien les primes, juste une anecdote amusante) Cependant, la meilleure question est de savoir comment je le sais? Et qu'est-ce que je fais de ma vie?
1 quid 07/27/2017
Mais Grothendieck devait savoir que 57 n'est pas premier, n'est-ce pas? Absolument pas, a déclaré David Mumford de l'Université Brown. "Il ne pense pas concrètement." "Parce que certainement il le savait dans le sens où il aurait pu répondre à la question" Est-ce que 57 est un nombre premier? " correctement, et cela devient floue là-bas.
1 John R Ramsden 08/02/2017
Si l'on répondait à la question originale par ce qui semble être l'approche légèrement insipide de souligner les lacunes inévitables même dans la connaissance des plus grands mathématiciens, un meilleur exemple qu'une simple erreur arithmétique aurait été quand Grothendieck aurait demandé à un collègue une certaine intégrale définie qu'il avait rencontrée, et a été surpris de se faire dire qu'il était habituellement appelé la distribution normale.

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