Fonctions qui sont toujours inférieures à leurs dérivées

Mike Brown 08/20/2017. 12 answers, 3.142 views
calculus integration differential-equations derivatives inequality

Je me demandais s'il y a des fonctions pour lesquelles $$ f '(x)> f (x) $$ pour tout $ x $. Seuls les exemples auxquels je pouvais penser étaient $ e ^ x - c $ et simplement $ - c $ dans lesquels $ c> 0 $. Aussi, y a-t-il une signification dans une fonction qui est toujours inférieure à sa dérivée?


Edit: Merci beaucoup pour toutes les réponses. Il semble que presque toutes les fonctions qui s'appliquent sont exponentielles par nature ... Y at-il plus d'exemples comme - 1 / x?

Encore une fois y a-t-il des applications / manifestations physiques de ces fonctions? [par exemple un objet dont la vitesse est toujours supérieure à sa position / accélération est toujours supérieur à sa vitesse]

3 Comments
1 BallpointBen 07/28/2017
Du haut de ma tête, toute fonction bornée, monotone, qui augmente dans le demi-plan inférieur.
1 Robin Saunders 07/29/2017
La réponse d'Ixion donne la solution complète et la plus générale (bien que certaines familles de solutions particulières puissent être écrites sous des formes plus agréables) et devrait être acceptée.
Hamsteriffic 07/30/2017
+1! Mais s'il vous plaît, corrigez le titre, en changeant "its" à "their". La façon dont le titre est écrit, pendant un moment, il semblait que vous envisagiez des dérivés de tous les ordres. Et maintenant je suis curieux de cette question, haha!

12 Answers


Ixion 07/29/2017.

Si $ y '(x)> y (x) \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} $, on peut définir $ f (x) = y' (x) -y (x) $ ce qui est positif pour tout $ x $. Supposons que $ y '(x) $ est une fonction continue, de sorte que $ f (x) $ est également continu. Maintenant, avec cet élément, nous pouvons construire l'équation différentielle $$ y '(x) = y (x) + f (x) $$ et ses solutions sont données par: $$ y (x) = e ^ {x} \ gauche (c + \ int_ {x_0} ^ {x} e ^ {-s} f (s) ds \ right) $$

Encore une fois y a-t-il des applications / manifestations physiques de ces fonctions? [par exemple un objet dont la vitesse est toujours supérieure à sa position / accélération est toujours supérieur à sa vitesse]

Je ne sais pas s'il y a application de cette propriété intéressante, mais je suis sûr que vous ne pouvez pas comparer la vitesse avec la position parce que ce ne sont pas des quantités homogènes.


Aidan Connelly 07/29/2017.

En supposant $ f (x)> 0 $, $ f: \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R} $

$ f '(x)> f (x) \ iff \ frac {d} {dx} \ ln (f (x))> 1 $

Vous pouvez donc transformer n'importe quelle fonction $ g $ où $ g '(x)> 1 $ dans ce type de fonction en en prenant l'exponentielle:

$ \ frac {d} {dx} g (x)> 1 \ implique \ frac {d} {dx} \ ln (e ^ {g (x)})> 1 \ implique \ frac {d} {dx} e ^ {g (x)}> e ^ {g (x)} $

5 comments
6 Hagen von Eitzen 07/28/2017
Vous supposez $ f (x)> 0 $ au début
2 MPW 07/28/2017
@HagenvonEitzen: Alors il pourrait juste utiliser $ \ hat {f} (x) \ équiv e ^ {f (x)} $ comme point de départ pour tout $ f $ donné. De cette façon, on a toujours $ \ hat {f} (x)> 0 $.
Robin Saunders 07/29/2017
La réponse d'Ixion donne la généralisation complète en permettant à $ \ frac {df} {dx} - f (x) $ d'être n'importe quelle fonction qui soit partout positive.
Adayah 07/29/2017
@RobinSaunders Non, il suppose la continuité de $ f '(x) $.
Robin Saunders 07/29/2017
Je suis assez sûr que cette condition n'est pas vraiment nécessaire.

Peter 07/28/2017.

Un exemple simple est $ f (x) = - x ^ 2-3 $


dromastyx 07/28/2017.

Un problème plus intéressant est de trouver une fonction $ f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} $, dont l'image est $ \ mathbb {R} $ et vérifie $ f '(x)> f (x) $ pour tout $ x \ in \ mathbb {R} $. Une de ces fonctions est

$$ \ sinh (x), $$

car

$$ \ frac {d} {dx} \ sinh (x) = \ cosh (x)> \ sinh (x) $$ pour tout $ x \ in \ mathbb {R} $.


M. Winter 07/28/2017.

Prenez $ f (x) = e ^ {\ alpha x} $. Alors pour $ \ alpha> 1 $ on a $ f '(x)> f (x) $ et pour $ \ alpha <1 $ on a $ f' (x) <f (x) $.


steven gregory 07/28/2017.

Que diriez-vous si vous le regardez comme une équation différentielle. Dire

$ y '= y + 1 $

qui a la solution $ y = Ce ^ x -1 $

Ou $ y '= y + x ^ 2 + 1 $

qui a la solution $ y = Ce ^ x - (x ^ 2 + 2x + 3) $

Ou $ y '= y + 2 \ sin x + 3 $

qui a la solution $ y = Ce ^ x - \ sin x - \ cos x -3 $

3 comments
Robin Saunders 07/29/2017
La réponse d'Ixion généralise ceci à $ y '(x) = y (x) + f (x) $ pour tout $ f (x)> 0 $.
steven gregory 07/29/2017
@RobinSaunders - dois-je supprimer ma réponse?
Robin Saunders 07/30/2017
Je ne connais pas grand-chose à l'étiquette de Stack Exchange, mais je suppose que puisque vous avez d'abord posté votre réponse et qu'elle contient des exemples précis qui ne figurent pas dans l'autre réponse, il serait bon de la laisser.

Eric Towers 07/30/2017.

Un exemple very simple est $ f (x) = -1 <0 = f '(x) $. Pertinent pour votre édition: ce n'est pas du tout exponentiel.

D'autres exemples qui ne sont pas immédiatement exponentiels:

  • $ \ frac {- \ pi} {2} + \ arctan x $ est partout négatif et partout strictement monotone croissant, donc partout moins que sa dérivée.
  • $ -1 + \ mathrm {erf} (x) $ est aussi partout négatif et partout strictement monotone. (Ils sont très similaires, car ils sont des copies décalées des CDF des distributions Cauchy et Gaussiennes (standard / normalisées).)
  • $ \ frac {1} {2} \ left (x - \ sqrt {x ^ 2 + 4} \ right) $ est la branche inférieure d'une hyperbole ayant l'axe $ x $ et la ligne $ y = x $ asymptotes. Il est partout négatif et partout strictement monotone.

Thiago Nascimento 07/28/2017.

Voir, $ - \ frac {1} {x}, \ frac {1} {x ^ {2}} \ dans \ [0, \ infty] $

1 comments
7 GEdgar 07/28/2017
Plus généralement, toute fonction négative avec dérivée positive ...

Joshua Kidd 07/28/2017.

Un autre exemple simple serait $ f (x) = -e ^ {-x} $, $ f '(x) = e ^ {-x} $


Adayah 07/29/2017.

L'inégalité $$ f '(x)> f (x) $$ est équivalente à $$ \ gauche [f (x) e ^ {- x} \ right]'> 0. $$

Donc la solution générale est de prendre n'importe quelle fonction différentiable $ g (x) $ avec $ g '(x)> 0 $ et de mettre $ f (x) = g (x) e ^ x $.

Notez que rien n'est supposé à propos de $ f $ excepté la différentiabilité, qui est nécessaire pour poser la question en premier lieu.


HelloGoodbye 07/30/2017.

Pour toute fonction différentielle $ f $ pour laquelle $ f (x) $ et $ f '(x) $ sont limités à des intervalles finis, $ f' (x) - f (x) $ est également limité à une gamme finie, donc il y a un $ c $ pour lequel $ f '(x) - f (x)> -c \ \ forall \ x $. Par conséquent, une fonction $ g (x) = f (x) - c $ peut être formée pour laquelle $ g '(x) - g (x) - c> -c \ \ forall \ x $ ou $ g' (x )> g (x) \ \ forall \ x $.

Par exemple, cela vaut pour de nombreuses fonctions périodiques différentielles.

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1 Adayah 07/29/2017
La dernière déclaration est fausse, puisque toute fonction périodique différentiable n'a pas de dérivée bornée.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Vous avez raison. Je considérais des fonctions périodiques qui étaient différentiables à chaque point dans $ \ mathbb {R} $, mais je réalise qu'une fonction doit seulement être différentiable à tous les points de son domaine pour être considérée différentiable. J'ai mis à jour ma réponse.
Adayah 07/30/2017
Je veux dire, une fonction $ f: \ mathbb {R} \ à \ mathbb {R} $ peut être périodique et différentiable dans tout point $ a \ in \ mathbb {R} $ et avoir encore une dérivée non bornée.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Avez-vous un exemple d'une telle fonction?
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Je veux dire, si une fonction $ f $ est différentiable partout, sa dérivée $ f '$ doit exister partout, et $ f' $ doit être continue (car si elle contient une discontinuité, $ f '$ ne peut pas exister à ce moment là ). Cela rend impossible que $ f '$ soit illimité, n'est-ce pas?

Henk Koppelaar 08/02/2017.

Mike une réponse à votre question supplémentaire "Y a-t-il des exemples physiques de ceci?" est activé par dromastyx.

Son exemple montre des fonctions hyperboliques qui décrivent avec précision le phénomène physique des solitons.

Les solitons sont des ondes solitaires telles que les éruptions solaires, les tsunamis, etc. Un exemple de découverte de telles ondes cachées dans des équations connues est:

http://rsos.royalsocietypublishing.org/content/2/7/140406.review-history

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