Trouver la limite d'un intégrale: $ \ lim_ {n \ à \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx $

Parisina 07/31/2017. 3 answers, 492 views
integration analysis limits continuity uniform-convergence

Supposons que $ f: [a, b] \ to \ mathbb {R} $ est continu. Déterminer si la limite suivante existe

$$ \ lim_ {n \ à \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx. $$

Comme $ f (x) $ et $ \ sin ^ 3 {(nx)} $ sont continus, leur produit est intégrable à Riemann. Cependant $ \ lim_ {n \ à \ infty} f (x) \ sin ^ 3 {(nx)} $ n'existe pas, donc ce n'est pas uniformément la convergence et nous ne pouvons pas passer la limite à l'intérieur de l'intégrale. Il ne satisfait pas non plus dans les conditions de Dini Theorem. Je ne sais pas comment faire un argument valable pour ce problème, mais je pense par ce que j'ai dit que la limite n'existe pas. J'apprécie toute aide.

3 Answers


Robert Israel 07/31/2017.

Lemme de Riemann-Lebesgue . Notez que $ \ sin ^ 3 (nx) = \ frac {3} {4} \ sin (nx) - \ frac {1} {4} \ sin (3nx) $.

2 comments
Parisina 07/31/2017
Merci, je pense, je peux le compléter maintenant
Teepeemm 07/31/2017
Cela semble être plus avancé que ce que le problème réclame.

Sangchul Lee 07/31/2017.

Une manière légèrement différente de résoudre ceci est d'utiliser l'observation suivante.

Proposition. Si $ f: [a, b] \ à \ mathbb {R} $ est continu, $ g: \ mathbb {R} \ à \ mathbb {R} $ est continu et $ L $ -périodique, alors

$$ \ lim_ {n \ à \ infty} \ int {{a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx = \ gauche (\ int_ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ right) \ left (\ frac {1} {L} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ right). $$

  1. En supposant cette affirmation, la réponse suit immédiatement puisque $ x \ mapsto \ sin ^ 3 x $ est $ 2 \ pi $ -périodique et

    $$ \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ sin ^ 3 x \, dx = 0. $$

  2. L'intuition est très claire: Si $ n $ est très grand, alors sur subinterval $ [c, c + \ frac {L} {n}] \ sous-ensemble [a, b] $ nous avons

    $$ \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} {n}} f (x) g (nx) \, dx \ approx f (c) \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} { n}} g (nx) \, dx = f (c) \ cdot \ frac {1} {n} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx. $$

    Donc, en ignorant les détails, nous aurions

    $$ \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx \ approx \ gauche (\ sum_ {k = 1} ^ {l \ nfloor n (ba) / L \ rfloor} f \ left (a + \ frac {kL} {n} \ right) \ frac {1} {n} \ right) \ gauche (\ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ right) $$

    et en prenant la limite comme $ n \ to \ infty $, le côté droit converge vers la valeur désirée. Remplir les détails est assez routinier.

  3. L'hypothèse sur la continuité est juste un cadre technique pour la preuve simple, et vous pouvez les détendre à certains degrés en payant plus d'efforts.


Michael Hartley 07/31/2017.

Vous ne pouvez pas conclure que $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_a ^ bg (x, n) dx $$ n'existe pas juste parce que $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} g (x, n ) $$ ne le fait pas. Par exemple, $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sin (nx) $$ n'existe pas, mais $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_0 ^ \ pi \ sin (nx) dx = 0, $$ puisque l'intégrale est nulle pour tout $ n $.

Je crains que mon utilité ne soit épuisée à ce stade, bien que je pense que la limite existe: vous devriez, sinon rien, trouver un argument epsilon-delta exprimant l'intégrale comme la somme d'un groupe d'intégrales sur des intervalles de longueur $ \ frac {2 \ pi} {n} $. Cela peut être une très mauvaise façon de s'attaquer au problème.

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